Системы компьютерной математики для численных расчетов

О системах компьютерной математике для численных расчетов читайте в данной статье.

К наиболее распространенным средствам, предоставляемым системами для численных расчетов, относятся:

• арифметические и алгебраические операторы и функции;
• функции для работы с комплексными числами;
• тригонометрические и гиперболические функции;
• обратные тригонометрические и гиперболические функции;
• логические операторы и функции;
• векторные и матричные операторы и функции;
• средства для решения систем линейных алгебраических уравнений;
• специальные математические функции;
• средства арифметики степенных многочленов (полиномов);
• функции для нахождения комплексных корней многочленов;
• функции для решения систем нелинейных алгебраических уравнений;
• средства для решения систем дифференциальных уравнений;
• средства оптимизации функций и линейного программирования;
• средства одномерной и многомерной интерполяции;
• средства создания двухмерных и трехмерных графиков;
• типовые средства программирования.

Системами для численных расчетов являются:

• Встроенные калькуляторы Windows.
• Табличные процессоры.
• Математические системы Eureka и Mercury.

С математической системой Eureka, пожалуй, началось применение компьютерных математических систем массовым пользователем. Эта система под MS-Dos была создана фирмой Borland. Eureka основана на алгоритме решения произвольных систем нелинейных и линейных уравнений с минимизацией погрешности решения по методу наименьших квадратов. Она неплохо справляется с решение оптимизационных задач, решением систем линейных и нелинейных уравнений и задачами из области линейного программирования. Сегодня эта система устарела.

Система Mercury это творческая переработка Eureka. Несколько улучшен входной язык последней, и стала использоваться обычная графика – Eureka ухитрялась строить графики функций в текстовом режиме с очень низким разрешением. Тем не менее, программа Mercury также устарела.

• Математические системы  MathCad под MS-DOS.

MathCad 2.0-2.5 ( под MS-DOS) фирмы MathSoft Inc. Эти версии зарождались как системы для численных расчетов с пользовательским интерфейсом и входным языком, позволяющим создавать документы в стиле блокнотов, записи в которых максимально приближены к обычному математическому языку. Такие записи в одном документе содержат текстовые комментарии, математические выражения, формулы, таблицы, результаты вычислений и рисунки.

• Системы класса MATLAB.

Системы Mathlab фирмы MathWork Inc. – матричные системы. У этих систем даже единичное числовое значение воспринимается как элемент матрицы размера 1?1. Практически все функции системы (включая элементарные) определены как матричные – способные обрабатывать массивы.

• Системы для статистических расчетов.

Особую разновидность математических систем образуют программы, предназначенные для проведения статистических расчетов: StatGraphics Plus, Statistica, SPSS, S-PLUS и др. Есть среди этих программ и рос­сийская программа STADIA, созданная в МГУ автором книги по ней Калаичевым А.П.. Интерфейс таких программ напоминает описанный выше интерфейс таблич­ного процессора Excel. Так, вначале пользователю предоставляется возмож­ность ввести данные в виде электронной таблицы или загрузить их в таблицу с накопителей информации.

Правила работы с электронными таблицами StatGraphics те же, что и для табличного процессора Excel. Большинство вычислений вы­полняется по правилу: ввел данные в таблицу, выделил нужные данные, ис­полнил команду нужного вида вычислений (например, регрессии, корреля­ции, обработки временных рядов и т.д.)

К числу нового поколения статистических программ можно отнести и программу S-PLUS, созданную фирмой MathSoft Inc. — разработчиком всемир­но известной универсальной программы Mathcad.

Главное отличие статистических программ от табличных процессоров заключается в большем числе встроенных специальных статистических функ­ций, позволяющих выполнять без программирования огромное число стати­стических вычислений, представляя их результаты в табличной, графической и иной форме.

Некоторые статистические программы, например лидер в этом классе программ — Statistica, обладают весьма представительным числом типов гра­фиков, которые они могут создавать (см. примеры выше). Широко распро­странены многовариантные статистические расчеты. С помощью таких про­грамм, выполняя, скажем, приближение данных с помощью регрессии, вы можете опробовать в деле сразу десятки функций регрессии, оценив пригод­ность каждой из них и достигаемую при этом погрешность. Многие стати­стические системы имеют завидные по качеству специальные графики и диа­граммы, широко применяемые в финансово-экономических расчетах.

Невозможно отрицать, что при выполнении серьезных статистических расчетов такие программы имеют определенные преимущества перед универсальными программами и что они занимают важное место в арсенале средств компьютерной математики. Например, при использовании универ­сальных программ можно порой получить абсурдные результаты из-за од­ной-двух грубых ошибок в заполнении матрицы исходных данных. Стати­стические системы обычно автоматически отсеивают такие ошибочные дан­ные или четко предупреждают пользователя об их обнаружении. В результа­те возможность получения неверных результатов при их применении резко снижается.

• Системы для специальных расчетов.

Имеется большое число программ, изначально ориентированных на не­которые специальные виды математических расчетов, например на решение систем нелинейных уравнений (ТК Solver), решение систем дифференциаль­ных уравнений (Dynamic Solver), построение графиков функций (Axum, MathPlot, Sigma Plot), выполнения нелинейной регрессии (DataFit Nonlinear Regression), моделирования электронных схем (MicroCAP 5, Electronics Work­bench, PSPice, Design Labs и др.) и т.д. Целое поколение матричных систем породила система MATLAB, но ни один из ее потомков не превзошел своего родителя — системы MATLAB 5.0/5.3.

Из программ этого класса, пожалуй, особый интерес представляют про­граммы для построения графиков. Здесь особо выделяется лучшая в этом классе программа — AXUM 5.0/6.0, созданная фирмой MathSoft Inc. и пре­красно интегрирующаяся с математической системой Mathcad.

В настоящее время эти программы (за исключением графических) нахо­дят ограниченное применение, поскольку все их возможности намного пере­крываются математическими системами для численных и аналитических вычислений и системами универсального назначения. Поэтому этот класс программ в данной книге специально не рассматривается, хотя многие опи­санные ниже положения всецело применимы и к данным программам.

Уникальные графические возможности предоставляет и программа VISIO, кстати, прекрасно уживающаяся с популярной системой Mathcad. Однако при всех своих презентационных и прочих графических возмож­ностях эта программа прямого отношения к математическим системам не имеет.

К особому классу систем компьютерной математики относятся различ­ные системы математического моделирования. Например, для моделирова­ния блочно заданных произвольных систем и устройств служит очень мощ­ное приложение Simulink, вошедшее в новые версии ситемы MATLAB. Приятное впечатление оставляет анализатор динамических систем Dynamic Solver, соз­данный в университете страны басков (Испания) в департаменте теоретиче­ской физики.

Весьма впечатляют современные программы проектирования и модели­рования электронных схем, например MicroCAP, OrCAD, DesignLab, Elec­tronics Workbench и др. Они позволяют задавать в графическом виде элек­тронные схемы, после чего автоматически составляют и решают весьма гро­моздкие системы уравнений, описывающих их работу. Результаты моделиро­вания представляются в очень удобной графической форме в виде осцилло­грамм, спектрограмм, частотных характеристик и так далее.

К сожалению, используемые в таких программах математические мето­ды полностью скрыты от пользователя. Поэтому эти программные продукты специфического применения, являющиеся неотъемлемой частью арсенала компьютерной математики, в данную книгу не вошли.

• Математика